Elementi Di Analisi Complessa: Funzioni Di Una ...
Protagonista dell'analisi complessa è la funzione olomorfa: una funzione complessa per cui è definita una nozione di derivata, in modo identico a quanto fatto per le usuali funzioni reali. Un'estensione di questo concetto è la funzione meromorfa. L'analisi complessa è estremamente utile in numerose branche della matematica, come ad esempio la teoria dei numeri e la geometria algebrica; ha notevoli applicazioni anche in fisica e in ingegneria.
Elementi di Analisi Complessa: Funzioni di una ...
Lo sviluppo dell'analisi complessa è una delle caratteristiche salienti della matematica del XIX secolo. Lo studio di funzioni complesse di una variabile complessa era stato affrontato sporadicamente nel corso del secolo precedente e i numeri complessi erano stati introdotti nello studio delle funzioni trigonometriche, nell'integrazione delle funzioni razionali, nella risoluzione di equazioni polinomiali, nella teoria dei numeri (in relazione all'ultimo teorema di Fermat), nello studio delle applicazioni conformi e nella cartografia teorica. Molto spesso, però, il loro uso aveva un carattere più formale che sostanziale, in accordo con l'orientamento in materia di algebra predominante nel XVIII secolo. Nel XIX sec. fu invece elaborata una ricca teoria delle funzioni di variabili complesse e l'analisi complessa acquisì una dignità pari a quella dell'analisi reale. Ciò fu dovuto sia alla possibilità di passare dal dominio reale a quello complesso in modo agevole e matematicamente naturale, sia agli aspetti particolarmente proficui di tale passaggio (riguardanti, per es., lo studio delle equazioni polinomiali dal punto di vista geometrico e l'intimo legame con le funzioni armoniche).
se intende calcolarla solo per quantità reali, considerando i valori immaginari dell'argomento come elementi, per così dire, secondari, o se è d'accordo con il mio principio che gli immaginari debbano godere degli stessi diritti dei reali nel dominio delle quantità. Non si tratta di una questione di utilità pratica: secondo me, l'analisi è una scienza indipendente che perde molto in bellezza e armonia se si trascura qualsiasi quantità fittizia; e in un momento tutte le verità, che altrimenti varrebbero in generale, devono essere necessariamente gravate dalle più pesanti restrizioni. (Gauss 1863-1933, X, 1, p. 366)
Comunque, la ricerca di dimostrazioni condusse una generazione di matematici ad allontanarsi spesso dalla visione di Riemann; Clebsch, suo successore a Gottinga, era il leader di un forte gruppo di geometri algebrici che cercarono di riscrivere le idee di Riemann nel linguaggio della geometria proiettiva delle curve algebriche e di ritornare all'analisi attraversando il ponte, come essi lo chiamavano, fornito dal teorema di Abel. Prym scrisse a Casorati che il libro di Clebsch e Gordan era "completamente inutile". Ciò che lo disturbava era l'enfasi posta sull'algebra a scapito della topologia. Pur se in modo imperfetto, Riemann aveva tentato di separare la superficie, pensata come oggetto astratto, da ogni sua immersione in un qualsiasi spazio proiettivo complesso; la trattazione di Clebsch-Gordan cercava di eliminare quella distinzione. Analogamente perentorio fu Roch nel giudicare 'poltiglia ribollita' la prima edizione delle Vorlesungen über Riemann's Theorie di Neumann. Curiosamente, quando la seconda edizione venne letta a Gottinga, Klein affermò che essa faceva apparire ogni cosa così semplice da sembrare quasi un insulto. Evidentemente, a Gottinga almeno, i matematici avevano cominciato a confrontarsi con Riemann. Solo Casorati ebbe successo con la Teorica delle funzioni di variabili complesse che mescolava le tecniche e le idee di Cauchy, Riemann e Weierstrass, e che favorì la diffusione in Italia della teoria riemanniana delle funzioni. La prima parte di questo testo tratta lo studio delle superfici di Riemann e delle funzioni abeliane, la seconda, più elementare, presenta invece gli argomenti che Riemann stesso aveva trattato nelle sue lezioni. 041b061a72